Mitos Masyarakat terhadap Matematika

Matematika berkembang sejalan dengan peradaban manusia. Sejarah ilmu pengetahuan menempatkan matematika pada bagian puncak hierarki ilmu pengetahuan, seakan-akan menjadi ratu ilmu pengetahuan. Penempatan demikian ini bisa menimbulkan mitos bahwa matematika adalah penentu tingkat intelektualitas seseorang. Jika seseorang tidak mengerti matematika berarti dia tidak pintar. Padahal kepintaran seseorang itu beraneka macam. Ada yang sangat pintar dalam bidang sains, yang lainya di bidang seni, yang lainnya di bidang olahraga, namun tidak mengerti matematika.

Mitos yang demikian, selanjutnya bisa membentuk mitos-mitos lain. Karena dianggap sebagai penentu tingkat intelektual seseorang, matematika menjadi standar untuk tes-tes intelektual atau penempatan. Matematika selalu hadir dalam ruang-ruang tes untuk menyaring tingkat kemampuan seseorang. Akibatnya, matematika selalu berhubungan dengan penyelesaian yang dibatasi waktu dan melibatkan perhitungan-perhitungan.

Masyarakat juga memiliki persepsi negatif terhadap matematika. Kebanyakan sikap negatif terhadap matematika timbul karena kesalahpahaman atau pendangan yang keliru mengenai matematika. Untuk memahami matematika secara benar dan sewajarnya, pertama-tama perlu diklarifikasi beberapa mitos negatif terhadap matematika. Beberapa mitos itu antara lain:

• Anggapan bahwa untuk mempelajari Matematika diperlukan bakat istimewa yang tidak dimiliki setiap orang.
  Kebanyakan orang berpandangan bahwa untuk dapat mempelajari matematika perlu kecerdasan yang tinggi, akibatnya mereka yang kecerdasanya rendah tidak termotivasi untuk belajar matematika.
  
  
• Matematika adalah ilmu berhitung. Kemampuan berhitung memang tidak dapat dihindari ketika belajar matematika. Namun berhitung hanya sebagian kecil dari keseluruhan isi matematika. Selain mengerjakan pehitungan-perhitungan, orang juga berusaha memahami mengapa perhitungan itu dikerjakan dengan sesuatu cara tertentu.
  
  
• Matematika hanya menggunakan otak.
  Aktivitas matematika memang memerlukan logika dan kecerdasan otak. namun logika dan kecerdasan saja tidak mencukupi. Untuk dapat berkembang, matematika membutuhkan kreativitas dan intuisi manusia seperti halnya seni dan sastra. Kreativitas dalam matematika menyangkut akal-budi, imajinasi, estetika, dan intuisi mengenai hal-hal benar. Para matematikawan biasanya mulai mengerjakan penelitian dengan menggunakan intuisi, dan kemudian membuktikan bahwa intuisi itu benar. Kekaguman pada segi keindahan dan keteraturan sering kali menjadi inspirasi dan motivasi bagi matematikawan untuk menciptakan terobosan baru dalam pengembangan matematika. Dengan kata lain, untuk mengembangkan matematika tidak hanya menggunakan otak kiri, tapi juga harus mampu menggunakan otak kanannya dengan seimbang.
  
  
• Yang paling penting dalam matematika adalah jawaban yang benar.
  Jawaban yang benar memang penting dan harus diusahakan. Namun yang lebih penting adalah bagaimana memperoleh jawaban yang benar. Dengan kata lain, dalam menyelesaikan persoalan-persoalan matematika, yang lebih penting adalah proses, penalaran, dan metode yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan tersebut sampai akhirnya menghasilkan jawaban yang benar.
  
  
• Kebenaran dalam matematika bersifat mutlak.
  Kebenaran dalam matematika sebenarnya bersifat nisbi. Kebenaran matematika tergantung pada kesepakatan awal yang disetujui bersama yang disebut postulat atau aksioma. Bahkan ada anggapan tidak ada kebenaran(truth) dalam matematika bahwa matematia, yang ada hanyalah keabsahan (validity), yaitu penalaran yang sesuai dengan aturan logika yang digunakan manusia pada umumnya.
• Matematika tidak berguna dalam kehidupan. Kebanyakan masyarakat yang berpendapat seperti ini disebabkan selama menempuh pelajaran matematika di bangku sekolah, guru jarang atau hampir tidak pernah memberikan informasi mengenai penerapannya dalam kehidupan nyata. Kebanyakan guru hanya memberikan materi yang berorientasi agar siswa dapat mengerjakan soal-soal dengan lancar dan mendapatkan nilai yang tinggi dan memuaskan.

Matematikawan Dunia

Rene Descartes

Rene Decartes dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawa.

Descartes lahir di Touraine, Perancis, putra seorang ahli hukum, yang lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirim dia ke sekolah Jesuit pada umur delapan tahun. Karena kesehatannya yang kurang baik, Descartes diizinkan menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya.

Pada umur 20 tahun ia mendapat gelar sarjana hukum (dapat dibayangkan seorang SH yang juga ahli matematika) dan selanjutnya menjalani kehidupan seorang yang terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal beberapa waktu di Paris dan kemudian di Belanda. ia pergi ke Swedia diundang untuk mengajari Ratu Christina dimana ia meninggal karena pneumonia pada tahun 1650.

Descartes menyelidiki suatu metode berpikir yang umum yang akan memberikan pertalian pada pengetahuan dan menuju dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itu mengantarnya pada matematika yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang paling berpengaruh adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri tua dan patut dimuliakan dengan aljabar yang masih bayi pada waktu itu. Bersama dengan seorang Perancis lainnya, Pierre Fermat (1601-1665), ia diberi pujian dengan gabungan tersebut yang saat ini kita sebut sebagai geomtri analitik, atau geometri koordinat. Pengembangan lengkap kalkulus tidak mungkin ada tanpa dia.

Augustin Louis Cauchy

Lahir di Paris dan dididik di Ecole Polytechnique. Karena kesehatan yang buruk ia dinasihati untuk memusatkan pikiran pada matematika. Selama karirnya, ia menjabat mahaguru di Ecole Polytechnique, Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya cemerlang dan mengejutkan dalam jumlahnya. Produktivitasnya sangat hebat sehingga Academy Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.

Cauchy seorang pemeluk Katolik saleh dan pengikut raja yang patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepada pemerintah Perancis yang berkuasa dalam tahun 1830, ia mengasingkan diri ke Italia untuk beberapa tahun dan mengajar di beberapa tahun dan mengajar di beberapa institut keagamaan di Paris sampai kesetiaan dihapuskan setelah revolusi 1848.

Cauchy mempunyai perhatian luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskah dalam ilmu persajakan bahasa Yahudi. Keimanannya dalam beragama mengantarnya mensponsori kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dan narapidana.

Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke 17, dasar-dasarnya tetap kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekan sebayanya (Gauss, Abel, dan Bolzano) mengadakan ketelitian baku. Kepada Cauchy kita berhutang pemikiran pemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas dari konsep limit. Semua buku ajar modern mengikuti, paling sedikit dalam intinya, penjelasan kalkulus yang terinci oleh Cauchy.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz adalah seorang jenius universal, seorang pakar dalam hukum, agama, filsafat, kesusasteraan, politik, geologi, sejarah, dan matematika. Lahir di Leipzig, Jerman, ia mendaftar di universitas Leipzig dan menggondol doktor dari universitas Altdorf. Seperti Descartes, yang karyanya ia pelajari, Leibniz mencari suatu metode universal dengan mana ia dapat memperoleh pengetahuan dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya. Salah satu keinginan besarnya adalah mendamaikan keyakinan Katolik dan Prostestan.

Bersama dengan Isacc Newton, ia membagi penghargaan untuk penemuan kalkulus. Masalah prioritas menyebabkan pertentangan yang tidak henti-hentinya antara pengikut dua orang besar ini, satu Inggris, yang lainnya Jerman. Sejarah menjadi hakim bahwa Newton lah yang pertama mempunyai pemikiran utama (1665-1666), tetapi bahwa Leibniz menemukan mereka secara tersendiri selama tahun 1673-1676. Dengan kebesarannya itupun, Leibniz tidak menerima kehormatan seperti yang dicurahkan pada Newton. Ia meninggal sebagai orang kesepian, pemakamannya hanya dihadiri seorang pelayat yaitu sekretarisnya.

Mungkin Leibniz lah pencipta lambang-lambang matematika terbesar. Kepadanya kita berhutang nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral, sama halnya seperti lambang baku dy/dx dan ∫ untuk turunan dan integral. Istilah fungsi dan penggunaan secara konsisten dari = untuk kesamaan merupakan sumbangan-sumbangan lainnnya. Kalkulus berkembang jauh lebih cepat di daratan Eropa daripada di Inggris, sebagian besar disebabkan oleh keunggulan perlambangannya.

Isaac Newton

Lahir dari keluarga petani Inggris pada tahun 1642, Isaac Newton sebagai pemuda remaja memperlihatkan sedikit harapan akademik. Ia bosan dengan sekolah, lebih senang membuat layangan, roda air, jam, dan perkakas lain. Seorang paman pertama kali mengenali bakat luar biasa anak tersebut; ia membujuk ibu Newton untuk memberangkatkan Newton ke Trinity College dari Universitas Cambrigde. Disana ia kena pengaruh Isaac Barrow, seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika. Barrow melihat di dalam diri Newton kemampuan yang lebih besar daripada dirinya dan menyerahkan kemahaguruannya kepada Newton pada umur Newton hanya 26.

Sebelum itu, sesaat setelah diwisuda dari trinity, Newton pergi pulang untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-1665. Selama 18 bulan, sejak Januari 1665, ia menekuni masalah-masalah matematika dan ilmu yang terkemuka. Tidak terdapat kejeniusan yang dapat dibandingkan penuh dalam sejarah ilmu. Dalam waktu singkat tersebut, Newton menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna, dan hukum gravitasi universal. Lagrange memuji bahwa Newton lah jenius terbesar yang pernah hidup dan yang paling mujur, karena hanya sekali sistem semesta dapat dikembangkan.

Sama seperti banyak ilmuwan sebayanya, Newton adalah sorang pemeluk agama yang saleh dan dikatakan telah memberikan waktu yang sama banyaknya untuk mempelajari Injil dan untuk matematika. Ia meninggal sebagai seorang terhormat pada usia 85 dan dimakamkan dengan kebesaran bangsanya di Westminster Abbey.

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann menerima pendidikan dini dari ayahnya, seorang pendeta Protestan Jerman. Pada waktu ia memasuki pendidikan tinggi tahun 1846, maksudnya adalah untuk mempelajari ilmu agama dan ilmu bahasa. Beruntung untuk dunia matematika, ia memilih Universitas Gottingen, yang telah dan selama 100 tahun berikutnya tetap merupakan pusat matematika dunia. Di sana ia kena pengaruh W. E. Weber, seorang fisikawan kelas satu dan Karl F. Gauss, matematikawan terbesar saat itu. Seseorang tidak perlu menginginkan guru yang lebih baik. Pada tahun 1851 ia menerima Ph.D nya di bawah Gauss, setelah itu ia tinggal di Gottingen untuk mengajar. Ia meninggal kaarena TBC, 15 tahun kemudian.

Hidupnya singkat, hanya 39 tahun. Ia tidak mempunyai waktu untuk menghasilkan karya matematika sebanyak yang dihasilkan Cauchy atau Euler. Tetapi karyanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah-makalah maatematisnya menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks memprakarsai studi mendalam dari apa yang sekarang ini disebut topologi, dan dalam geometri memulai perkembangan yang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori relativitas Einstein.

Kita asosiasikan Reimann dengan bab ini, karena walaupun Newton dan Leibniz keduanya mempunyai ssuatu versi tentang integral dan mengetahui Teorema Dasar dari kalkulus integral, Riemannlah yang memberi kita definisi modern tentang integral tentu. Untuk menghormatinya, disebut integral Riemann.

Pustaka : Kalkulus dan Geometri Analitis (Edwin J Purceell-Dale Varberg)

Hakim Tertinggi Matematika

Kebenaran merupakan hal teramat penting dalam ilmu pengetahuan maupun di luar ilmu pengetahuan. Dalam kehidupan sehari-hari juga dikenal kebenaran dan ketidakbenaran. Tindakan atau ucapan seseorang sering digolongkan kepada "benar" dan "tidak benar", meski dalam perkembangannya dimungkinkan penggolongan itu tidak dapat dikotomik seperti itu. Sesuatu yang dinilai benar atau salah umumnya dapat dinyatakan dalam bentuk pernyataan atau statement. Sebuah mobil berjalan kearah tertentu. Keadaan ini dapat diungkap dalam sebuah pernyataan. Misalnya : "Mobil merah itu berjalan ke utara". Pernyataan ini dapa diperiksa kebenarannya dengan benar-benar melihat apakah mobilnya berwarna merah dan berjalannya ke arah utara. Dengan demikian terhadap pernyataan itu dapat diberikan nilai benar atau mungkin salah. Misalnya "Pak Guru Memukul muridnya yang bernama Deni". Seperti contoh mobil, pernyataan ini pun dapat bernilai benar atau mungkin bernilai salah sesuai kecocokannya isinya atau intensi pernyataan itu.

Seorang siswa SMP mengatakan "Setengah sudut A adalah 30^o". Ucapan siswa tersebut merupakan sebuah pernyataan. Kebenaran atau kesalahan pernyataan itu harus dirujukkan pada pernyataan-pernyataan terdahulu. Pernyataan terdahulu misalnya "besar sudut A adalah 60^o", tentu saja pernyataan siswa itu bernilai benar. Tetapi kalau definisi besar sudut belum ada maka pernyataan siswa tersebut belum dapat dikatakan benar atau salah.

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan pernyataan yang dapat dianggap mewakili kondisi tertentu penilaian benar atau tidak benar dapat dilakukan. Dari itu jelas bahwa pernyataan menduduki tempat yang penting dalam hal "nilai kebenaran" atas sesuatu hal.

Dalam keilmuan biasanya dikenasl tiga jenis kebenaran, yaitu:

1. Kebenaran konsistensi atau koherensi
2. Kebenaran korelasional
3. Kebenaran Pragmatik

Kebenaran konsistensi

Kebenaran konsistensi adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kebenaran-kebenaran yang diterima terlebih dahulu. Pada dasarnya kebenaran yang ada pada matematika adalah kebenaran konsistensi. Kebenaran suatu teorema dalam matematika dibuktikan dengan menggunakan kebenaran pernyataan-pernyataan terdahulu yang telah diterima nilai kebenarannya.

Kebenaran Korelasional

Kebenaran korelasional adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kecocokannya dengan kenyataan yang ada. Sebagai contoh banyak dijumpai dalam sains. Kalau ada pernyataan "logam jika dipanaskan akan memuai", kebenaran pernyataan ini diyakini melalui kecocokannya dengan realitas "suatu loga benar-benar dipanaskan". Kalau ada pernyataan Tokyo adalah ibukota Indonesia", kita dapat langsung mengatakan bahwa pernyataan itu bernilai salah. Itu dilakukan karena pernyataan itu tidak cocok dengan realitasnya.

Kebenaran Pragmatik

Kebenaran pragmatik adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan atas manfaat atau kegunaan dari intensi pernyataan itu. Contoh tentang logam yang dipanaskan akan memuai di atas juga dapat dikatakan sebagai kebenaran pragmatik karena pernyataan itu dapat dimanfaatkan, misalnya dalam pemasangan rel kereta api.

Ketidakmungkinan suatu struktur matematika tertentu memuat suatu kontradiksi

Perhatikan pendefinisian sudut berikut:

Model A : Sudut adalah bangun yang terjadi jika dua sinar berpangkal sama.

Model B : Sudut adalah daerah bidang yang dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama.

Dengan menggunakan definisi model A belum dapat menentukan besar sudut, titik dalam sudut, dan setengah sudut. Perlu didefinisikan daerah sudut. Dengan menggunakan definis model B sudah dapat menentukan besar sudut, titik dalam sudut, dan setengah sudut.

Diberikan dua pernyataan:

a. Sebuah garis lurus memotong sebuah sudut tepat pada dua buah titik.

b. Sebuag garis lurus memotong sebuah sudut pada tak hingga titik.

Manakah diantara kedua pernyataan diatas yang benar? Untuk menyatakan apakah kedua pernyataan benar atau salah, harus ditunjukkan model yang digunakan. Pernyataan a benar dalam model A, tetapi tidak benar pada model B, kecuali ditambah terlebih dahulu suatu definisi tertentu yang terkait dengan kaki sudut.

Uraian di atas menunjukkan bahwa hakim tertinggi atau penentu kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah struktur yang disepakati untuk digunakan. Hakim atau penentu kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah strukturnya. Pengertian sudut yang dipahami pada kurikulum kita adalah model A, sehingga pendefinisian model A juga digunakan medefiniskan segitiga atau bangun geometri datar lainnya. Dalam hal ini yang dimaksud segitiga adalah kerangkanya, sehingga untuk strukturnya diperlukan pengertian daerah segitiga yang berakibat terhadap luas daerah segitiga yang seterusnya disingkat luas segitiga.

Berpikir Matematis : Berpikir Aksiomatis

Berpikir matematis merupakan kegiatan mental yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi atau generalisasi. Dalam proses aktivitas ini, salah satu hal penting yang diusung oleh para ilmuwan di era Euclids adalah berpikir aksiomatis.

Berpikir aksiomatis adalah suatu pernyataan yang dibuat mesti berlandaskan pada pernyataan sebelumnya, pernyataan sebelumnya harus berlandaskan pernyataan sebelumnya lagi dan seterusnya, sehingga sampai pada pernyataan yang paling awal diajukan. Pernyataan yang paling awal diajukan deianggap benar dan jelas dengan sendirinya. Penyataan awal tersebut disebut aksioma atau postulat. Dengan aksioma kita tidak perlu lagi membuktikan kebenarannya, dan kebenaran tersebut kita terima begitu saja karena sudah jelas dengan sendirinya.

Pada hakikatnya, landasan berpikir matematis itu merupakan kesepakatan-kesepakatan yang disebut dengan aksioma. Dengan aksioma-aksioma inilah matematika berkembang menjadi banyak cabang matematika. Karena landasanya adalah aksioma, maka matematika merupakan sistem aaksiomatik. Dalam sistem yang aksiomatik inilah kumpulan-kumpulan aksioma-aksioma itu memiliki sifat taat asas (consistent), dengan hubungan antar aksioma adalah saling bebas (adjoint).

Agar berpikir aksiomatis ini sah dan benar, maka ada beberapa faktor yang perlu diperhatikan, yaitu:

• harus ada konssistensi antara pernyataan yang satu dengan pernyataan yang lain. Tidak boleh ada pernyataan yang kontradiktif. Dalam hal ini berlaku dalil : jika P=Q, dan Q=R maka P=Q.
• setiap pernyataan yang disusun harus dapat menghasilkan satu atau lebih pernyataan yang lain. Misalnya pernyataan : Setiap orang perlu makan. Apakah dari pernyataan ini ada pernyataan lain yang dapat diturunkan? Orang perlu makan untuk bertahan hidup, orang perlu bertahan hidup untuk beribadah, dan seterusnya.
• setiap aksioma yang ditetapkan harus bebas dari aksioma yang lain. Selama masih terkait dengan pernyataan yang lain, maka pernyataan itu belum disebut aksioma. Euclids menyajikan sejumlah aksioma, diantaranya:
  
  • Jika A=B maka berlaku B=A
  • Jika A=B dan C=D maka berlaku A+C=B+D
  • Jika A=B dan C=D maka berlaku A-C=B-D
  • Keseluruhan lebih besar dari sebagian
  • Hanya dapat dibuat sebuah garis dari sebuah titik ke sebuah titik yang lain.
  • Semua sudut siku-siku selalu sama dengan sudut siku-siku yang lain.

Dari suatu aksioma dapat diturunkan suatu dalil. Misalnya dari aksioma 5 dapat diturunkan pernyataan berikut: melalui sebuah titik P yang berada di luar garis g, hanya dapat dibuat satu garis lain l yang tegak lurus dengan garis g. Karena ini merupakan hasil turunan dari pernyataan yang lain, maka pernyataan ini bukan aksioma, bukan postulat. Karena itu, kebenarannya harus dibuktikan.

Cara berpikir aksiomatis ini merupakan salah satu tonggak utama perkembangan matematika era Yunani. Dua tonggak yang lain adalah berkaitan dengan ketakberhinggan, limit, dan proses penjumlahan. Masalah tak berhingga dan limit pada zaman itu belum dapat dijawab sampai dengan ditemukan cabang matematika yang lain yang disebut kalkulus. Tonggak lain berkaitan dengan geometri tingkaat lanjut, yaitu membicarakan selain garis lurus dan lingkaran.

Aksioma-aksioma yang digunakan untuk menyusun sistem matematika itu menentukan bentuk sistem matematika itu sendiri. Apabila aksiomanya diubah, sistemnya pun ikut berubah, sehingga teorema-teorema yang diperoleh dari aksioma-aksioma yang mempergunakan penalaran itu akan berubah pula.

Dalam semua penalaran deduktif, kesimpulan yang ditarik merupakan akibat logis dari alasan-alasan yang bersifat umum menjadi hal yang bersifat khusus. Dengan alasan-alasan yang bersifat umum yang mendasarinya, maka kesimpulan tidak perlu lagi diragukan lagi. Penerapan cara berpikir deduktif ini akan menghasilkan teorema-teorema. Dan teorema-teorema inilah yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah, baik dalam matematika sendiri maupun ilmu lain.

Perumusan yang diperoleh dari penalaran induktif bukan termasuk kategori berpikir matematika. Menalar secara induktif (bedakan dengan pembuktian metode induksi matematik) memerlukan pengamatan, yang akan digunakan sebagai dasar argumentasi, sebab penarikan kesimpulannya berasal dari alasan-alasan yang bersifat khusus menjadi bersifat umum. Meskipun pengamatan itu terbatas dan tidak cermat. Dengan demikian, hasil pengamatan tidak akan memperoleh hasil akhir atau kesimpulan yang sahih.

Berpikir deduktif digunakan untuk menentukan agar kerangka pemikiran itu koheren dan logis. Matematika yang logis itu dapat menemukan pengaturan baru dari pengetahuan sebelumnya yang sudah diketahui. Walaupun matematika itu menggunakan penalaran deduktif, dalam proses kreatifnya kadang-kadang juga menggunakan intuisi, imajinasi, penalaran induktif, atau bahkan coba-coba (trial and error). Tetapi, pada akhirnya penemuan dari proses kreatif harus diorganisasikan dengan pembuktian secara deduktif.

Sebagai landasan matematika, aksioma dapat diperoleh dari dunia nyata atau alam sekitar, sebagai sumber inspirasi yang selanjutnya diabstraksikan dan digeneralisasikan dengan menggunakan simbol-sombol. Dengan menggunakan bahasa matematika yang penalarannya deduktif, diperoleh teorema, yang kemudian dikembangkan menjadi teorema-teorema yang pada akhirnya dapat diaplikasikan terhadap ilmu-ilmu lain, yang bermanfaat untuk kehidupan di dunia ini.

Sumber :Mathematical Intelegence (Moch. Masykur Ag & Abdul Halim Fathani)

Strategi Pemecahan Masalah Matematika

Berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikannya merupakan ciri khas makhluk hidup yang berakal. Pemecahan masalah (problem solving) merupakan latihan bagi siswa untuk berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikan. Ini adalah salah satu kompetensi yang harus ditumbuhkan pada diri siswa. Kompetensi seperti ini ditumbuhkan melalui bentuk pemecahan masalah.

Pembelajaran pemecahan masalah tidak sama dengan pembelajaran soal-soal yang telah diselesaikan (solved problems). Pada pemecahan masalah kita memberikan bekal kepada siswa berbagai teknik penyelesaian untuk menyelesaikan masalah. Strategi ataupun taktik untuk menyelesaikan masalah dengan cara ini disebut heuristics, karena pada dasarnya pembelajar harus dapat menemukan sendiri.

Terdapat berbagai strategi dalam pemecahan masalah, dari yang sederhana samapai strategi yang cukup kompleks. Diantaranya menerka dan menguji kembali, membuat daftar yang teratur, mengasumsikan jika sebagian dari masalah telah terselesaikan, menghapuskan beberapa kemungkinan, menyelesaikan masalah yang setara, menggunakan simetri, memperhatikan hal khusus, menggunakan alasan langsung, menyelesaikan sutau persamaan, melihat pola yang muncul, mengskets suatu gambar, memikirkan masalah sejenis yang telah diselesaikan, menyelesaikan masalah yang lebih sederhana, menyelesaikan masalah yang mirip, bekerja mundur dan menggunakan formula atau rumus.

Menurut Polya ada 4 langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan masalah matematika, yaitu:

1. Memahami masalah yang ada
   1. Apakah kita mengetahui arti semua kata yang digunakan? Jika tidak carilah di indeks, kamus, definisi, dan lainnya
   2. Apakah kita mengetahui yang dicari atau ditanya?
   3. Apakah kita mampu menyajikan masalah dengan menggunakan kata-kata sendiri?
   4. Apakah masalah dapat disajikan dengan cara lain?
   5. Apakah kita dapat menggambar sesuatu yang dapat digunakan sebagai bantuan?
   6. Apakah informasi cukup untuk menyelesaikan masalah?
   7. Apakah informasi berlebihan?
   8. Apakah ada yang perlu dicari sebelum mencari jawaban dari masalah?
   
   
   
2. Menyusun suatu strategi
   1. Jangan ragu-ragu untuk mencoba salah satu dari strategi untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah yang kita hadapi.
   2. Pada umumnya, strategi yang berhasil ditemukan setelah beberapa kali mencoba strategi yang gagal. Kegagalan adalah satu langkah kecil untuk mencapai tujuan dalam pemecahan masalah.
   
   
   
3. Melakukan strategi yang terpilih
   langkah ini lebih mudah dibandingkan menyusun strategi. Disini hanya diperlukan kesabaran dan kehati-hatian untuk menjalankan strategi.
   
   
4. Melihat kembali pekerjaan yang telah dilakukan
   Selanjutnya, jika perlu menyusun strategi baru yang lebih baik atau menuliskan jawaban dengan lebih baik berada di langka ini.

Di Amerika Serikat, penyelidikan tentang Pemecahan Masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu. Diantaranya penyelidikan dilakukan oleh Dodson (1971), Hollander (1974). Menurut mereka kemampuan pemecahan masalah yang harus ditumbuhkan adalah:

1. Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika;
2. Kemampuan mencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi;
3. Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar;
4. Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan;
5. Kemampuan untuk menaksir dan menganalisa;
6. kemampuan untuk memvisualisasi dan mengimplementasi kuantitas atau ruang;
7. Kemampuan untuk memperumum (generalisasi) berdasarkan beberapa contoh;
8. Kemampuan untuk menganti metode yang telah diketahui;
9. Mempunyai kepercayaan diri yang cukup dan merasa senang terhadap materinya.

Selain kemampuan di atas, siswa mempunyai keadaan yang tentu untuk masa yang akan datang sehingga dengan percaya diri dapat mengembangkan kemampuan tersebut.

Menurut mereka, untuk mengembangkan kemampuan di atas, guru memberikan hal berikut:

1. Ajari siswa dengan berbagai strategi yang dapat digunakan untuk berbagai masalah;
2. Berikan waktu yang cukup untuk siswa mencoba masalah yang ada;
3. Ajaklah siswa untuk menyelesaikan masalah dengan cara lain;
4. Setelah masalah terselesaikan, ajaklah siswa untuk melihat kembali, melihat kemungkinan lain, mengatakan dengan bahasa mereka sendiri, kemudian ajaklah untuk mencari penyelesaian dengan cara yang lebih baik;
5. Jika kita berhadapan dengan masalah yang sulit, tidak berarti kita harus menghindar. Tetapi gunakan cukup waktu untuk mengulang dan mengerjakan masalah yang lebih banyak, Mulailah dengan mengerjakan masalah serupa, dan kemudian masalah-masalah yang menantang.;
6. Fleksibelitas di dalam pemecahan masalah merupakan perilaku belajar yang baik.

Matematika dan Kita

Tidak dapat dipungkiri kebanyakan dari guru mempunyai pengalaman tidak menyenangkan sewaktu mempelajari matematika di SD, SMP, atau SMA. Kenyataan ini tidak jarang berubah menjadi suatu kebencian terhadap apa saja yang berhubungan dengan matematika. Bahwasanya matematika tidak disenangi di masyarakat, antara lain ditunjukkann oleh sikap sebagian besar masyarakat yang phobi terhadap matematika. Sebagian masyarakat menganggap matematika kurang bermanfaat dalam kehidupan bermasyarakat. Tidak jarang timbul pertanyaan apa manfaat matematika dalam kehidupan mereka sehari-hari? Jelaslah bahwa matematika pada taraf yang lebih lanjut tidak ada gunanya ketika berjual beli beras. Taraf ketidakgunaannya sama dengan ilmu bedah. Tapi itu tidak berarti bahwa kita boleh menjatuhkan putusan bahwa matematika hanya boleh diketahui oleh sekumpulan orang tertentu saja. Secara langsung kemampuan spasial seorang dokter bedah akan sangat membantu untuk menentukan letak organ tubuh bagian dalam dari seorang pasiennya.

Tidak banyak yang menyadari bahwa dibalik setiap teknologi yang dapat menghemat tenaga, sumber daya dan pikiran telah digunakan terlebih dahulu berbagai hasil pemikiran matematika. Bagaimana dapat kita ramalkan bahwa hujan pertama yang akan turun di berbagai wilayah Indonesia pada musim hujan tahun depan? bagaimana dapat kita ketahui berapa banyak beras yang harus kita import tahun depan untuk menutupi kekurangan produksi beras dalam negeri?. Semuanya didasarkan atas catatan data pada waktu sebelumnya, yang kemudian dicari pola-pola keteraturannya dengan menggunakan matematika, untuk kemudian digunakan alat peramal.

Bagaimana pula dapat diketahui syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dalam membangun gedung pencakar langit tahan terhadap gempa bumi dengan kekuatan tertentu? Semua didasarkan atas perhitungan-perhitungan matematika. Sayangnya semua jerih payah yang dicurahkan untuk perhitungan tidak tampak pada gedung. Yang tampak hanyalah suatu hasil karya cipta seorang ahli bangunan, sehingga orang cenderung lebih berminat untuk masuk jurusan teknik sipil atau arsitektur daripada memasuki jurusan matematika.

Mengapa hal ini bisa terjadi? Salah satu jawabannya adalah masyarakat termasuk guru belum semuanya memahami tentang apa dan bagaimana matematika itu. Guru matematika akan mampu menggunakan matematika untuk mencapai tujuan yang ditetapkan, bila ia memahami dengan baik matematika yang akan digunakan sebagai wahana untuk mencapai tujuan tersebut. Apabila pemahaman guru terhadap matematika kurang baik berakibat penggunaan matematika sebagai wahana pendidikan tidak dapat tercapai seperti yang diharapkan.

Matematika sebagai wahana pendidikan tidak hanya dapat digunakan untuk mencapai satu tujuan, misalnya mencerdaskan siswa, tetapi dapat juga membentuk kepribadian siswa serta mengembangkan keterampilan tertentu. Hal ini mengarahkan perhatian kepada pembelajaran nilai-nilai dalam kehidupan melalui matematika seperti jujur, disiplin tepat waktu dan tanggung jawab. Untuk itu siswa perlu memiliki kemampuan memperoleh, memilih, dan mengelola informasi untuk bertahan pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti dan kompetitif. Kemampuan itu membutuhkan pemikiran kritis, sistematis, logis dan kreatif, serta kemampuan bekerja sama yang efektif. Cara berpikir seperti itu dapat dikembangkan melalui belajar matematika, karena matematika memiliki struktur dan keterkaitan yang kuat dan jelas antar konsepnya, sehingga memungkinkan siswa berpikir rasional. Implikasinya siswa perlu memiliki penguasaan matematika pada tingkat tertentu, yang merupakan penguasaan kecakapan matematika untuk dapat memahami dunia dan berhasil dalam karirnya. Kecakapan matematika yang ditumbuhkan pada siswa merupakan mata pelajaran matematika kepada pencapaian kecakapan hidup yang ingin dicapai melalui pembelajaran matematika.

Bagaimana seorang guru berusaha menguasai matematika yang akan diajarkannya serta bagaimana mengajarkannya kepada siswa merupakan seni atau kita tersendiri. Tidak benar kalau anggapan bahwa seorang yang telah menguasai matematika dengan baik akan sendirinya mampu mengajarkannya dengan baik pula.

Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau pernyataan yang diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya, sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan dalam matematika bersifat konsisten. Namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi. Proses induktif dapat juga bersama-sama digunakan untuk mempelajari konsep matematika. Penerapan cara kerja matematika diharapkan dapat membentuk sikap kritis, kreatif, jujur, dan komunikatif.

Keabstrakan objek-objek matematika perlu diupayakan agar dapat diwujudkan secara lebih konkret, sehingga akan mempermudah siswa memahaminya. Inilah kunci penting yang harus diketahui guru matematika, dan diharapkan dapt dijadikan pendorongh lebih kreatif dalam merencanakan pembelajaran.

Teknik/Model Pengajaran dalam Sistem Pendidikan Islam

eknik pengajaran saat ini telah berkembang sangat pesat dan memiliki banyak ragam. Dan selama teknik pengajaran tersebut dimaksudkan untuk mengefektifkan metode berpikir rasional (aqliyah) pada siswa, serta tidak melanggar hukum syara’ maka dalam hal ini pengajar diberikan kebebasan untuk memilih mana tekhnik mengajar yang paling tepat. Dibutuhkan kreatifitas dari para pengajar untuk mengetahui tekhnik mana yang paling tepat untuk digunakan dalam pengajaran materi pelajaran tertentu.

Islam mengajarkan bahwa metode berpikir rasional memang menjadi dasar berpikir dalam memecahkan berbagai masalah kehidupan. Dengan berpikir rasional, kita diajak untuk berpikir/melihat sesuatu dari yang umum/global terlebih dahulu baru berpikir detail/ cabangnya. Misalkan ketika kita mempelajari tentang manusia, maka hendaknya kita mempelajari dulu sifat dan karakternya secara umum, sebelum detail kehidupan dan aktifitasnya. Mempelajari kata-kata yang menunjukkan makna terlebih dahulu sebelum mempelajari huruf-hurufnya, dan mempelajari makna umum dan pemikiran mendasar pada suatu teks (nash) terlebih dahulu sebelum bagian-bagian atau cabang-cabangnya.

Penggunaan metode berpikir ilmiah hanya dibenarkan jika digunakan khusus untuk materi yang bisa diindra dan layak digunakan pada ilmu-ilmu terapan. Karena dalam metode ilmiah, seringkali kita diminta untuk menafikkan adanya informasi terdahulu serta membutuhkan perlakuan-perlakuan khusus. Sedangkan dalam kehidupan, tidak semua yang diperlakukan sama akan menghasilkan sesuatu yang sama (pasti). Sehingga itu juga menjadi salah satu alasan, jika metode berpikir ilmiah bertentangan dengan metode berpikir rasional, maka yang dipakai adalah metode berpikir rasional.

Sedangkan metode berpikir logis/ mantiq bukan termasuk metode berpikir dan tidak bisa meningkat ke proses metode ilmiah. Kebenaran hasil dari proses berpikir mantiq sangatlah bergantung pada nilai kebenaran dari premis-premis yang diberikan, serta urutannya. Jika premis-premisnya tepat dan urutannya pun juga tepat, maka bisa jadi kesimpulannya juga tepat. Tapi jika tidak, kesimpulannya bisa saja ngawur. Karena kebenaran berpikir logis sangat bergantung pada kaidah-kaidah yang telah ada. Sebenarnya, kaidah berpikir logis ini dirancang untuk digunakan dalam bahasa pemrograman komputer, bukan untuk diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.