Hakim Tertinggi Matematika

Kebenaran merupakan hal teramat penting dalam ilmu pengetahuan maupun di luar ilmu pengetahuan. Dalam kehidupan sehari-hari juga dikenal kebenaran dan ketidakbenaran. Tindakan atau ucapan seseorang sering digolongkan kepada "benar" dan "tidak benar", meski dalam perkembangannya dimungkinkan penggolongan itu tidak dapat dikotomik seperti itu. Sesuatu yang dinilai benar atau salah umumnya dapat dinyatakan dalam bentuk pernyataan atau statement. Sebuah mobil berjalan kearah tertentu. Keadaan ini dapat diungkap dalam sebuah pernyataan. Misalnya : "Mobil merah itu berjalan ke utara". Pernyataan ini dapa diperiksa kebenarannya dengan benar-benar melihat apakah mobilnya berwarna merah dan berjalannya ke arah utara. Dengan demikian terhadap pernyataan itu dapat diberikan nilai benar atau mungkin salah. Misalnya "Pak Guru Memukul muridnya yang bernama Deni". Seperti contoh mobil, pernyataan ini pun dapat bernilai benar atau mungkin bernilai salah sesuai kecocokannya isinya atau intensi pernyataan itu.

Seorang siswa SMP mengatakan "Setengah sudut A adalah 30^o". Ucapan siswa tersebut merupakan sebuah pernyataan. Kebenaran atau kesalahan pernyataan itu harus dirujukkan pada pernyataan-pernyataan terdahulu. Pernyataan terdahulu misalnya "besar sudut A adalah 60^o", tentu saja pernyataan siswa itu bernilai benar. Tetapi kalau definisi besar sudut belum ada maka pernyataan siswa tersebut belum dapat dikatakan benar atau salah.

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan pernyataan yang dapat dianggap mewakili kondisi tertentu penilaian benar atau tidak benar dapat dilakukan. Dari itu jelas bahwa pernyataan menduduki tempat yang penting dalam hal "nilai kebenaran" atas sesuatu hal.

Dalam keilmuan biasanya dikenasl tiga jenis kebenaran, yaitu:

1. Kebenaran konsistensi atau koherensi
2. Kebenaran korelasional
3. Kebenaran Pragmatik

Kebenaran konsistensi

Kebenaran konsistensi adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kebenaran-kebenaran yang diterima terlebih dahulu. Pada dasarnya kebenaran yang ada pada matematika adalah kebenaran konsistensi. Kebenaran suatu teorema dalam matematika dibuktikan dengan menggunakan kebenaran pernyataan-pernyataan terdahulu yang telah diterima nilai kebenarannya.

Kebenaran Korelasional

Kebenaran korelasional adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kecocokannya dengan kenyataan yang ada. Sebagai contoh banyak dijumpai dalam sains. Kalau ada pernyataan "logam jika dipanaskan akan memuai", kebenaran pernyataan ini diyakini melalui kecocokannya dengan realitas "suatu loga benar-benar dipanaskan". Kalau ada pernyataan Tokyo adalah ibukota Indonesia", kita dapat langsung mengatakan bahwa pernyataan itu bernilai salah. Itu dilakukan karena pernyataan itu tidak cocok dengan realitasnya.

Kebenaran Pragmatik

Kebenaran pragmatik adalah kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan atas manfaat atau kegunaan dari intensi pernyataan itu. Contoh tentang logam yang dipanaskan akan memuai di atas juga dapat dikatakan sebagai kebenaran pragmatik karena pernyataan itu dapat dimanfaatkan, misalnya dalam pemasangan rel kereta api.

Ketidakmungkinan suatu struktur matematika tertentu memuat suatu kontradiksi

Perhatikan pendefinisian sudut berikut:

Model A : Sudut adalah bangun yang terjadi jika dua sinar berpangkal sama.

Model B : Sudut adalah daerah bidang yang dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama.

Dengan menggunakan definisi model A belum dapat menentukan besar sudut, titik dalam sudut, dan setengah sudut. Perlu didefinisikan daerah sudut. Dengan menggunakan definis model B sudah dapat menentukan besar sudut, titik dalam sudut, dan setengah sudut.

Diberikan dua pernyataan:

a. Sebuah garis lurus memotong sebuah sudut tepat pada dua buah titik.

b. Sebuag garis lurus memotong sebuah sudut pada tak hingga titik.

Manakah diantara kedua pernyataan diatas yang benar? Untuk menyatakan apakah kedua pernyataan benar atau salah, harus ditunjukkan model yang digunakan. Pernyataan a benar dalam model A, tetapi tidak benar pada model B, kecuali ditambah terlebih dahulu suatu definisi tertentu yang terkait dengan kaki sudut.

Uraian di atas menunjukkan bahwa hakim tertinggi atau penentu kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah struktur yang disepakati untuk digunakan. Hakim atau penentu kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah strukturnya. Pengertian sudut yang dipahami pada kurikulum kita adalah model A, sehingga pendefinisian model A juga digunakan medefiniskan segitiga atau bangun geometri datar lainnya. Dalam hal ini yang dimaksud segitiga adalah kerangkanya, sehingga untuk strukturnya diperlukan pengertian daerah segitiga yang berakibat terhadap luas daerah segitiga yang seterusnya disingkat luas segitiga.